Elementos de análisis financiero: conceptos básicos sobre el cálculo de intereses y el costo del capital (página 2)

Supongamos que un amigo nos hizo un
préstamo por valor de $
400,000 el 15 de mayo de 2005. Vamos a cancelarlo, junto con los
intereses, el 15 de octubre de 2005. La tasa de
interés que hemos acordado es del 2 por ciento
mensual. ¿Cuánto tendremos que pagar de intereses
en este caso?

Por cada mes se deben pagar $ 400,000 x 0.02 =
$ 8,000

Entre mayo 15 de 2005 y octubre 15 de 2005998
habrán transcurrido 5 meses, por lo cual los intereses
serán $ 8,000 x 5 = 40,000, y la cantidad total que
debemos cancelar es de

$ 400,000 + $ 40,000 = $ 440,000

Si M0 (Monto inicial) es la suma
adeudada, i la tasa de interés
por período (diario, mensual, trimestral, anual, etc.),
I los intereses totales acumulados, y
t el tiempo en
número de períodos (días, meses, trimestres,
años, etc., según la forma como se haya
especificado la tasa de interés), tenemos:

I = M0 · i
· t

es decir, I = 400,000 x 0,02 x
5 = 40,000

y la suma total a pagar, o sea el monto
(M) de capital mas
intereses acumulados será:

M = M0 + I = M0
+ M0 · i · t = M0 · ( 1 +
i · t )

Es decir, M = 400,000 x ( 1 +
0,02 x 5 ) = 440,000

Esta forma de liquidar los intereses se denomina
de interés simple, sistema que ya
tiene poca utilización en el mundo financiero. Hoy en
día, para la mayoría de las aplicaciones,
especialmente las referentes a inversiones,
se piensa más en términos de interés
compuesto, que consiste en que los intereses devengados
durante un período se suman al capital al final del
período (se capitalizan) y ganan a su vez
intereses durante el período siguiente.

Un caso sencillo es del de las cuentas de
ahorro.
Supongamos que una cuenta tradicional de ahorros gana intereses a
una tasa nominal del 4% anual, capitalizables
trimestralmente. Entonces el período a considerar es un
trimestre, con intereses de 4/4 = 1.0% por trimestre. Cada
trimestre se liquidan los intereses y se suman al capital para
ganar también intereses durante el siguiente trimestre. Si
se depositan $ 100,000 en esta cuenta de ahorros al comienzo del
año, ¿cuánto dinero
habrá en esa cuenta al cabo de 12 meses?

Al final del primer período trimestral
tendremos ganados intereses de $ 100,000 x 0,01 = $ 1,000. El
Monto que se tendrá entonces al final del primer
período, para ganar intereses durante el segundo,
será:

M1 = M0 + M0 · i
= M0 · ( 1 + i )

M1 = 100,000 x ( 1 + 0,01 ) =
101,000

Durante el segundo período trimestral este
nuevo monto, que incluye los intereses ganados durante el primer
período, ganará nuevos intereses, esta vez en la
cuantía de:

$ 101,000 x 0,01 = 1,010

Al sumarle estos nuevos intereses al monto
acumulado, M1, se tendrá un nuevo monto al final del
segundo período, M2:

M2 = 101,000 + 1,010 = 102,010

Lo cual se puede expresar
simbólicamente:

M2 = M1 + M1 · i = M0
· ( 1+ i ) + M0 · (
1 + i ) · i

Entonces, se deduce que

M2 = M0 · ( 1 + i )
· ( 1 + i ) = M0
· ( 1 + i )2

De la misma manera se encontrará que

M3 = 102,010 + 102,010 x 0,01 = 103,030

O, en símbolos,

M3 = M2 + M2 · i = M2
· ( 1 + i )

Es decir,

M3 = M0 · ( 1 + i )2
· ( 1 + i ) = M0 · ( 1 +
i )3

De la misma manera encontraremos que

M4 = M0 · ( 1 + i )4

y, en general,

Mt = M0 · ( 1 + i
)t

Siendo t el número de
períodos a considerar. De esta forma, podemos llegar a la
respuesta a la pregunta: ¿Cuánto dinero
habrá en nuestra cuenta de ahorros al cabo de doce
meses?

Como los períodos de capitalización
son trimestrales, t = 4 trimestres, y necesitamos
entonces trabajar con la tasa de interés por trimestre,
que ya habíamos calculado en 1% trimestral. De esta manera
tenemos:

M4 = 100,000 x (1 + 0.01)4 = 100,000 x 1.040604
= 104,060.40

Esto significa que durante los cuatro trimestres
transcurridos, los $ 100,000 iniciales se convirtieron en $
104,060.40, generando intereses totales de $ 4,060.40. En
términos porcentuales, esto equivale al 4.06 % anual, o
sea que cada pesos se convierte al cabo de un año en $
1.04604

Aquí se presenta una discrepancia entre el
valor de 4% que nos habían dicho que pagaba la caja de
ahorros y el 4.06% que fue lo efectivamente recibido. ¿A
qué se debe esta discrepancia? Este fenómeno se
debe a la capitalización periódica de los intereses
que caracteriza la modalidad de interés
compuesto. Si no hubiera capitalización, los intereses
recibidos habrían sido de $ 4,000, como sería el
caso del interés
simple a la tasa nominal del 4%. Pero como este no es el
caso, sino que los intereses ganados al final del primero,
segundo y tercer trimestre se van sumando en cada etapa al
capital y, a su turno, empiezan a ganar intereses también,
el porcentaje de interés efectivamente ganado al final
viene a ser mayor que lo que se había estipulado como
interés nominal.

En este punto, podemos hacer entonces una
distinción entre la tasa de interés
nominal (4% anual), y la que corresponde a lo
efectivamente recibido, tasa de interés
efectiva, que en este caso es de 4.06% anual.

Vale la pena recordar que en sistema de ahorro
tradicional, los intereses se calculan sobre los saldos
mínimos trimestrales, es decir, un capital gana intereses
durante un trimestre sólo si estuvo depositado allí
durante todo el trimestre, por lo cual el valor de
t en la fórmula tiene que ser un
número entero; además, los trimestres que se tienen
en cuenta son aquellos que principian el primer día de
enero, abril, julio y octubre, con un período de gracia de
diez días (es decir, si se deposita el dinero
dentro de los 10 primeros días del trimestre, se considera
como si se hubiera depositado el primer día del
trimestre).

Intereses
anticipados e intereses vencidos

Normalmente, cuando se cita una tasa de
interés sin ninguna calificación, se entiende que
se habla de intereses nominales, y que el pago se efectúa
al vencimiento
del período. Sin embargo, se presenta a veces el cobro
anticipado de intereses. Esta práctica encubre en realidad
un aumento de los intereses efectivamente cobrados.

Supongamos que nos otorgan un crédito
por $ 100.000 para cancelar dentro de un año a una tasa de
interés del 36% anual, pagaderos por trimestre anticipado.
Esto quiere decir que antes de salir del banco con el
dinero ya hemos pagado anticipadamente el 9% de intereses por los
primeros tres meses (36/4=9), es decir, hemos pagado $ 9.000.
Entonces, en realidad, el banco me entregó solamente $
91.000, y por ese dinero tengo que pagarle $ 9.000 por trimestre.
La verdadera tasa trimestral es en realidad entonces de 9/91 =
0,0989 por trimestre, que al hacer el cálculo
compuesto resulta en una tasa efectiva anual de:

Tasa Efectiva = ( 1 + 9/91 )4 – 1 =
0,4583

Si en lugar de un trimestre anticipado el pago de
intereses fuera por semestre anticipado, habría que pagar
18% anticipado por semestre, es decir, del valor del
préstamo sólo entregarían $ 82.000, por los
cuales habría que pagar $ 18.000 de intereses cada
semestre. La tasa efectiva en este caso sería de 18/82 =
0,2195 semestral o, en términos anuales:

Tasa Efectiva Anual = ( 1 + 0,2195 )2 – 1 =
0,4872

Es decir, una tasa efectiva del 48,72%, cuando se
había partido de una tasa nominal del 36%.

La
inflación y la tasa de interés
real

El fenómeno inflacionario que vive la
economía colombiana, al igual que la de
muchos países del mundo, consiste en una elevación
persistente (y a veces desenfrenada) del nivel general de
precios de los
productos que
se intercambian en la economía. Este fenómeno
acarrea como consecuencia la pérdida del poder
adquisitivo del dinero.

Existen diferentes medidas de la
inflación, pero una de las mas utilizadas es el
índice de precios al consumidor (IPC),
por cuanto su evolución indica la magnitud de la
pérdida del valor del dinero que reciben los asalariados
como remuneración por su trabajo para
la satisfacción de sus necesidades básicas.

En la década de 1990, la economía
colombiana padeció unas tasas de inflación
considerables. Aunque en los últimos años ha
logrado reducirse la tasa de crecimiento del IPC a valores entre
el 5% y el 6%, es interesante mostrar cómo, mientras
más alta sea la tasa de inflación, más
graves son sus efectos distorsionadores en las decisiones
económicas, enfatizando la importancia de comprender el
fenómeno para hacer los ajustes del caso. Tomemos por
ejemplo un período entre 1997 y 1998. De acuerdo con el
DANE, entre setiembre de 1997 y setiembre de 1998, el IPC
aumentó en 18,94%. Esto significa que en setiembre de 1998
se necesitaban 118,94 pesos para comprar la misma canasta de
bienes que un
año antes se compraba con $ 100.

Esta disminución del poder adquisitivo del
dinero tiene importantes implicaciones para las decisiones de
inversión. Supongamos que colocamos una
cantidad de dinero en una inversión (por ejemplo, un
certificado de depósito a término (CDT), que al
cabo de un año nos va a retribuir el capital mas el 35% de
intereses (tasa vigente en ese año). Si invertimos $ 100,
al cabo de un año recibiremos $ 135; sin embargo, en el
transcurso del año el dinero habrá perdido parte de
su valor. Suponiendo una tasa de inflación del 18%,
necesitaremos $ 118 para comprar lo mismo que antes se compraba
por $ 100. Entonces, en términos de poder adquisitivo,
sólo tenemos una ganancia de $ 17 (=135 – 118) en pesos
desvalorizados. La rentabilidad
real (tasa de interés real de mi inversión
ha sido entonces de sólo 17 / 118 = 0.14407, es decir, del
14.41% anual, en lugar del ilusorio 35% nominal, que enmascara el
efecto erosivo que la inflación ejerce sobre el poder
adquisitivo de los ahorros. Debe notarse que el cálculo se
hizo tomando 17/118 y no 17/100, por cuanto tanto el numerador
como el denominador de la fracción deben estar
representados por dinero tomado en el mismo momento en el tiempo,
en este caso los 17 pesos son pesos que se reciben un año
después de que se invirtieron los 100 iniciales.

Para analizar una inversión es necesario,
por consiguiente, purgar las cifras financieras de los efectos
distorsionadores de la inflación, pues si no se hace esto,
se corre el riesgo de
enmascarar y falsificar la realidad de las inversiones.

La tasa de interés real, la tasa nominal y
la inflación están relacionadas así
(Ramírez Rojas, 1978):

i = r + n + rn (Fórmula
de Fisher)

en donde i = tasa nominal de
interés

r = tasa real de
interés

n = tasa de inflación

De aquí, despejando r, se desprende
que:

r = ( i – n ) /
( 1 + n )

Aplicando esta fórmula al ejemplo que
acabamos de discutir, tenemos: i = 0.35; n
= 0.18. Entonces,

r = (0.35 – 0.18) / (1 +
0.18) = 0.1441

Que es el mismo resultado al que habíamos
llegado anteriormente por un procedimiento mas
intuitivo.

Ejemplo. ¿Cuál es
la tasa de interés real de un depósito en cuenta de
ahorros que paga 4% anual capitalizable trimestralmente?

La tasa de interés efectiva en este caso
es de ( 1 + 0.01 )4 – 1 = 0.0406

Si asumimos una tasa de inflación del 5%
anual, que fue el valor meta para 2005, tenemos:

r = ( 0.0406 – 0.05 ) / (
1 + 0.05 ) = -0.00895

es decir, una tasa negativa de –0.9 % efectivo
real anual: la inflación anuló por completo
la rentabilidad y más bien dejó una pérdida
en términos reales.

Amortización de un préstamo.
Anualidades

Una anualidad es, por definición, un
evento que se repite anualmente; por ejemplo, un pago de $ 100
cada año durante un cierto número t
de años. Sin embargo, el uso del término puede
extenderse para denotar eventos que se
repiten periódicamente, como por ejemplo, cada mes, cada
trimestre, cada seis meses, etc.

Cuando se obtiene un crédito en un banco,
es posible encontrar diferentes alternativas para la amortización del capital y el pago de
intereses, pero en los préstamos a corto plazo (por ej., a
un año), las modalidades mas frecuentes son las
siguientes:

Caso 1

Se pagan los intereses (anticipados o vencidos)
periódicamente (ej., cada mes o cada tres meses) y la
totalidad del monto inicial del crédito (o principal) se
paga al final del plazo.

Ejemplo 1. Un préstamo de
$ 100,000 a un año, con intereses nominales del 36% anual
pagaderos trimestre anticipado y el principal se paga al final
del año.

En este caso se deberá cancelar al
comienzo de cada trimestre el 9% del valor del préstamo (O
sea, $ 9,000) como intereses; es decir, al retirar del banco el
dinero del préstamo sólo se reciben $ 91,000 (=
100,000 – 9,000). Asignándole signo positivo al
dinero recibido del banco y signo negativo a los dineros pagados
al banco, y asumiendo que cada movimiento de
dinero se efectúa al fin de cada período
relacionado, el flujo de fondos sería:

Ejemplo 2. Si los intereses
nominales fueran igualmente del 36% anual, pero pagaderos
trimestre vencido, el flujo para este préstamo
sería así:

Caso 2.

El valor del préstamo se divide en cuotas
iguales (mensuales, trimestrales, semestrales, etc.) y los
intereses se cobran (anticipados o vencidos) cada mes, cada tres
meses, o semestrales sobre el saldo de la deuda,. En este caso,
aunque el abono a capital es igual para cada período, los
pagos no son uniformes por cuanto los intereses se calculan sobre
saldos cada vez menores, y así la cuota de cada
período es menor que la del período anterior.

Ejemplo. Un préstamo de $
100,000 para cancelar en cuatro contados trimestrales de $ 25,000
mas los intereses, los cuales se liquidarán a una tasa
nominal del 36% sobre saldos, pagaderos por trimestre anticipado.
En este caso se tendría:

Caso 3

Amortización de capital e intereses en
serie de pagos uniformes para cada período. Este
caso es el que corresponde al concepto de
anualidad, y consiste en calcular una cuota de abono al
principal que sea de tal manera creciente que alcance exactamente
a compensar la tendencia decreciente de los intereses sobre los
saldos, dando como resultado una cuota constante para todos los
períodos.

Ejemplo 1 . Un préstamo de
$ 100,000 con intereses nominales del 36% anual sobre saldos, que
se liquidarán por trimestre vencido. El valor del
préstamo (VP), junto con los intereses
debe cancelarse en cuatro cuotas trimestrales iguales. Para
calcular el valor de la cuota (A), es necesario
en este caso hacer uso de la fórmula de las anualidades, que
es la siguiente:

A = VP · i /
( 1 – ( 1 + i )-t )

En la cual A = pago por
período

VP = valor del préstamo (
o valor presente de la anualidad )

i = tasa de interés por
período (vencido)

t = número de
períodos

Aplicando esta fórmula, se tiene:
VP = 100,000; i = 0.36/4 = 0.09
trimestral; t = 4 trimestres. Y se tiene:

A = 100,000 x 0.09 / ( 1
– ( 1 + 0.09 )-4 ) = 30,866.87

Entonces, el préstamo se amortizará
pagando cuatro cuotas iguales de $ 30,866.87 cada una. Para
verificación se presenta a continuación la
descomposición del flujo de pagos:

Es importante anotar que para el uso de esta
fórmula debe tenerse el interés efectivo por
período, el cual en este ejemplo coincide con el resultado
de dividir el nominal por el número de períodos
(0.36/4 = 0.09); aunque el interés efectivo por año
no es de 0.36, sino de 41.16% (=1.094 – 1), el efectivo por
trimestre sí es de 0.09 por cuanto los períodos
estipulados para el pago son trimestres vencidos. Si la tasa de
interés se hubiera estipulado por períodos
anticipados, habría sido necesario calcular el equivalente
a períodos vencidos; en este caso, el valor de
i a usar en la fórmula habría sido
9/91 = 0.0989 en lugar de 0.09.

La misma fórmula de anualidades puede
usarse para resolver problemas
relacionados con las otras variables que
entran en ella, por ejemplo, preguntas sobre el valor del
préstamo, sobre el número de períodos, y
sobre la tasa de interés, como se ilustrará en los
ejemplos siguientes:

Ejemplo 2. Cálculo del
valor presente (VP) de una anualidad

Un fondo de empleados presta dinero con plazo
hasta de 24 meses e intereses mensuales del 2% sobre saldos. Una
persona que
tiene un salario de $
600,000 podría destinar hasta $ 10,000 mensuales para
amortizar un préstamo. Se pregunta, ¿cuánto
podrá solicitar en préstamo?

En este caso se despeja VP de la
fórmula y queda:

VP = ( A/i )
· ( 1 – ( 1 + i )-t
)

Aplicando la fórmula:

VP = (10,000/0.02) ·
( 1 – (1 + 0.02 )-24 ) = 189,139.25

Es decir, este empleado podría solicitar
un préstamo de hasta $ 189,139 para pagarlo en 24 meses
con cuotas de $ 10,000 mensuales.

Ejemplo 3. Cálculo del
tiempo t necesario para amortizar un
préstamo

Con la misma tasa de interés del caso
anterior, se podría preguntar, por ejemplo,
¿cuántos meses se requerirán para cancelar
un préstamo de $ 120,000, pagando cuotas mensuales de $
15,000?

En este caso, es preciso despejar
t de la fórmula; para esto es necesario
recurrir a los logaritmos. Quedaría así:

t = log ( 1 – VP
· i /A ) / ( – log ( 1 + i
) )

Aplicando esta fórmula a los datos del
problema, tenemos:

t = log ( 1 – (120,000 x
0.02 / 15,000) ) / ( – log ( 1 + 0.02 ) ) =
8.8046

Es decir, se requieren casi 9 meses para pagar
este préstamo. Este resultado puede verificarse poniendo
t = 8.8046 en la fórmula inicial para
VP.

Ejemplo 4. Cálculo de
la tasa de interés

Este cálculo no es tan fácil, por
cuanto si hay mas de tres o cuatro períodos, sería
imposible despejar el valor de i de la
fórmula. En este caso, es necesario acudir a métodos de
tanteo por aproximaciones sucesivas. Supongamos que vamos a
comprar un automóvil que vale $ 8,000,000. Nos lo entregan
con 30% de cuota inicial ($ 2,400,000) y el saldo, o sea $
5,600,000 lo financian para pagarlo en 36 cuotas mensuales de $
308,586. Nos preguntamos, ¿cuál será la tasa
de interés de este préstamo?

Utilizando la fórmula para
anualidades:

A = VP · i / ( 1 – ( 1 +
i )-t )

empezamos a ensayar valores de i
; supongamos un valor inicial i0 = 0.03.
entonces:

A(i=0,03) =
(5,600,000 x 0.03) / ( 1 – ( 1 + 0.03 )-36 ) =
256,501.24

Con esta tasa de interés resulta una cuota
mas baja que la verdadera, lo cual indica que hemos subestimado
la tasa de interés; es necesario, entonces, repetir el
cálculo con un valor mas alto, por ejemplo, 0.04:

A(i=0,04) =
(5,600,000 x 0.04) / ( 1 – ( 1 + 0.04 )-36 ) =
296,166.50

Con el 4% de interés, la cuota calculada
todavía resulta inferior al valor verdadero que me van a
cobrar, de $ 308,586. Debo hacer un nuevo tanteo con una tasa
mayor del 4%. Tomemos 5% para el ensayo
siguiente:

A(i=0,05) =
(5,600,000 x 0.05) / ( 1 – ( 1 + 0.05 )-36 ) =
338,432.96

En este caso, ya la cuota calculada resulta
superior. Podemos concluir que la tasa verdadera está
entre el 4% y el 5%. Podríamos continuar tanteando con
valores intermedios entre 4 y 5, o usar una interpolación
para obtener un valor aproximado. La fórmula es:

i(aprox) = i0 + ( i1 –
i0 ) · ( ( A – A0 ) / (
A1 – A0) )

en donde i0 = tasa inferior (en
este caso, 0.04)

i1 = tasa superior (en este caso,
0.05)

A = valor verdadero de la cuota
mensual ($ 308,586)

A0 = cuota calculada a la tasa
inferior i0 ($ 296,166.50)

A1 = cuota calculada a la tasa
superior i1 ($ 338,432.96)

Aplicando estos valores a la fórmula,
obtenemos:

i(aprox) = 0.04 + (0.05 –
0.04) · ( (308,586 – 296,166.50) /
(338,432.96 – 296,166.50) ) = 0.04293

Es decir, i es aproximadamente
4.3. Colocando el valor de 4.29 en la fórmula para
A, obtendremos que A =
308,327.22, valor bastante aproximado al valor verdadero. Como
este valor es un poco inferior al verdadero, la tasa buscada debe
ser un poco superior a 4.29. Con i=4.3% se
obtiene que A = 308,586.22, valor casi
exactamente igual al buscado.

Ejemplo 5. Costos ocultos del
crédito

Hace unos días entré a un almacén
con el propósito de averiguar por una estufa que en
vitrina vale $ 600,000; la entregan con el 30% de cuota inicial
($ 180,000), y el saldo, o sea $ 420,000 lo financian a doce
meses con un "3% de interés mensual sobre saldos". Esto
significa, aplicando la fórmula de anualidades, doce
cuotas mensuales iguales de $ 42,194.10. Como en realidad no
deseaba endeudarme, pregunté si había algún
descuento por pago de contado. Inicialmente, el vendedor me
ofreció el 10% si pagaba de contado. Yo estaba algo
indeciso, deseaba pensarlo un poco y tal vez averiguar en otros
almacenes;
agradecí al vendedor y me dirigí hacia la salida
del almacén. El vendedor no se resignaba a la idea de
perder un cliente
potencial; antes de que yo llegara a la puerta del almacén
ya me había ofrecido subir el descuento al 20%. Como
continuara mi marcha hacia la salida del almacén, el
vendedor me llamó y me pidió que esperara un
momento; él consultaría al gerente del
almacén y trataría de lograr que le autorizara un
descuento mayor. Al cabo de unos instantes regresa y me informa
que el gerente le autorizó a hacerme un descuento del 25%
por tratarse de "un cliente muy especial". Esto quiere decir que,
en realidad, la estufa me saldría costando realmente $
450,000 si la pagaba de contado.

Dicho en otros términos, y omitiendo la
representación teatral del vendedor sobre los supuestos
descuentos, el precio real de
la estufa era de $ 450,000 para venta de contado.
La persona que la paga a plazos debe, en cambio, pagar
$ 180,000 como cuota inicial. Restándole al precio real de
la estufa el valor de la cuota inicial, queda un saldo real a
financiar de $ 270,000 (= 450,000 – 180,000).

Este saldo financiado debo pagarlo, ya lo vimos,
en 12 cuotas mensuales de $ 42,194.10 cada una, que fueron
calculadas aplicándole una tasa del 3% a un valor inflado
de $ 420,000, cuando hemos descubierto que el valor realmente
financiado es de $ 270,000. En realidad, este crédito,
además de haberse calculado intereses sobre un valor
inflado, tiene un recargo inicial de $ 150,000 disfrazados como
pérdida del descuento del 25%, pero que en realidad
constituye un recargo adicional en los costos de
financiación que debe pagar el comprador a plazos.

Estas condiciones llevan a la sospecha de que 3%
no es la verdadera tasa de interés que me están
cobrando; para encontrar ésta puedo usar el procedimiento
de tanteo que se discutió en el ejemplo anterior,
tomando:

A = 42,194.10 Valor de la cuota
mensual

t = 12 Número de cuotas
mensuales

VP = 270,000 Que es el verdadero
valor financiado

El valor a averiguar es la tasa de interés
i que corresponde a estos valores. Tomando como
valor inicial de tanteo i0 = 0.03 tenemos:

A(i= 0,03) = 270,000 x 0.03 / (
1 – ( 1 + 0.03 )-12 ) = 27,124.75

Este valor resulta muy por debajo de la cuota que
está cobrando el almacén, lo cual indica que la
tasa de interés verdadera debe ser mucho mas alta. Tomando
i1 = 0.10 y calculando de nuevo, obtenemos un
valor A(i= 0,10) = 39,626.10, que todavía
es demasiado bajo. Con i3 = 0.15 tenemos:

A(i=0,15) = 270,000 x 0.15 /
( 1 – (1 + 0.15 )-12 ) = 49,809.80

Como con 15% de interés mensual la cuota
calculada sobrepasa la cuota verdadera, concluyo que el valor
verdadero de i está entre el 10 y el 15%
mensual. Haciendo la interpolación que ya conocemos:

iaprox = 0.10 + (0.15 –
0.10 ) · (42,191.1 – 39626.1 ) / (49,809.8 –
39,626.1) = 0.1126

Aplicando esta tasa a la fórmula
encontraremos que A(i=0,1126) = 42,105.45

Este valor es ya bastante aproximado, por lo cual
puedo concluir que la tasa verdadera de interés que
están cobrando por la financiación de esa estufa es
de aproximadamente 11.3% mensual y no del 3% como
pretendían hacerme creer. En este ejemplo se omitió
la consideración del impuesto al valor
agregado (IVA) que se
cobra por la financiación, que recarga aún mas el
costo del
crédito.

La moraleja de este ejemplo: No debe uno tragarse
entero lo que le dicen los vendedores. Debemos estar preparados
para hacer nuestros propios cálculos.

Valor futuro de
una anualidad

Con frecuencia se presentan situaciones de pagos
periódicos iguales como los discutidos en el numeral
anterior, pero no referidos a la amortización de un
préstamo recibido en el momento actual, sino con miras a
acumular una cantidad deseada en el futuro.

Ejemplo. Si deseo reunir al cabo
de cinco años (60 meses) un capital de $ 1,000,000,
haciendo depósitos mensuales en un plan de
capitalización que paga intereses nominales del 21% anual
capitalizables mensualmente, ¿cuál será la
cuota mensual que debo ahorrar?

Para responder a esta pregunta, debo hacer uso de
una nueva fórmula, referida al valor futuro de una
anualidad:

VF = A · ( ( 1 +
i )t – 1 ) /
i

En donde VF = Valor futuro de una
anualidad

A = Abono periódico

i = Tasa de interés
efectiva por período vencido

t = Número de
períodos

Como la pregunta se refiere al abono
periódico, debo despejar de esta fórmula el valor
de A:

A = VF · i / ( ( 1 +
i )t – 1 )

Aplicando esta fórmula a los datos del
problema, tenemos:

A = 1,000,000 x (0.21 / 12)
/ ( ( 1 + (0.21 / 12))60 – 1 ) =
9,553.36

Es decir, debo ahorrar $ 9,553.36 mensuales en
este plan para tener $ 1,000,000 al cabo de cinco
años.

Valor presente de
un flujo de pagos no uniforme

Cuando el flujo de pagos no es uniforme, no
pueden usarse las fórmulas aplicables a las anualidades
que se presentaron en los numerales anteriores. Para trabajar
este tipo de problemas debemos recordar que una cantidad
M0, colocada a interés compuesto
i, valdrá al cabo de t
períodos:

Mt = M0 · ( 1 +
i )t

Podemos deducir que para tener Mt
pesos al cabo de t períodos, debemos haber
colocado M0 pesos:

M0 = Mt / ( 1 +
i )t

Se dice que M0 es el valor
presente de una suma Mt a recibir en el
futuro.

Si se tiene un flujo de valores M0 , M1 ,
M2 , ……, Mt , de los cuales M0 se
recibe hoy, M1 dentro de un período,
M2 dentro de dos períodos, etc., se puede
calcular el valor presente de todo el flujo sumando los valores
presentes:

VP = M00 + M01 + M02 + ………+
M0t

Es decir,

VP = M0 /
(1+i)0 + M1 /
(1+i)1 + M2 /
(1+i)2 + ……..+ Mt /
(1+i)t

Los valores de M no tienen que
ser todos positivos (dinero recibido); algunos pueden ser
negativos (dinero entregado).

Ejemplo. Compré una
máquina que me costó $ 1,000,000 y la pagué
al contado hoy (M0 = $ 1,000,000). Esa
máquina se arrendará. He calculado que esa
máquina producirá los siguientes ingresos y
demandará los siguientes gastos durante
una vida útil estimada en cinco años (valores en
miles de pesos corrientes; se asume una inflación del 23%
anual):

Si para poder comprar esa máquina tuviera
que conseguir el capital en préstamo, pagando una tasa de
interés efectivo del 43% anual, ¿valdría la
pena hacer esa inversión? Para contestar esta pregunta
debo calcular el valor presente del flujo neto (última
fila de la tabla), así:

VP = – 1,000 + 600 / 1.43 + 714
/ (1.43)2 + 843 / (1.43)3 + 994 / (1.43)4 + 1,445 / (1.43)5 =
536,382.65

El valor presente positivo de este flujo indica
lo siguiente: Si para poder hacer esta inversión yo me
endeudara pagando una tasa de interés efectiva anual del
43%, los ingresos que generará la inversión
(representados en los arriendos a recibir y el valor de
salvamento), darán lo suficiente para pagar el
préstamo con sus intereses mas los gastos de mantenimiento
y reparaciones, y todavía quedará un remanente a mi
favor de $ 536,382.65 en pesos de hoy.

Debe tenerse en cuenta que un presupuesto de
ingresos y gastos es un esfuerzo de predicción sujeto a
múltiples posibilidades de error. ¿Qué
sucedería, por ejemplo, si los valores recibidos por
arrendamientos resultaran ser sólo el 70% de lo esperado?
En este caso el flujo neto sería el siguiente (en miles de
pesos):

El valor presente de este nuevo flujo de
efectivo, a la misma tasa de interés del 43%
sería negativo,

VP = – 1,000 + 360 / 1.43 + 419
/ (1.43)2 + 480 / (1.43)3 + 547 / (1.43)4 + 896 / (1.43)5 = –
98.55

¿Qué significa este valor presente
negativo? En primer lugar, significa que después de pagar
los costos de capital e intereses mas los gastos de mantenimiento
y reparaciones, no queda saldo a favor del inversionista, como
sí fue el caso del ejemplo anterior. Por el contrario,
queda un saldo en contra, es decir que si se toma el capital en
préstamo al 43% de interés anual, los ingresos no
dan lo suficiente para cubrir los gastos de operación y
además el pago del principal y los intereses del
préstamo, quedando una pérdida neta de $ 98.55.

La tasa interna
de retorno, TIR

¿Será que los intereses son muy
altos? ¿A cuánto asciende la máxima tasa de
interés que se podría pagar en este último
caso para que el proyecto saliera
a ras, sin producir pérdida? Esta pregunta presenta una
nueva forma de problema a resolver, en el cual la
incógnita a encontrar es la máxima tasa de
interés que la inversión puede pagar.

En este caso, para que no se gane ni se pierda
con la inversión, se requiere que el valor presente de la
inversión sea igual a cero, es decir,

VP = 0 = M0 + M1
/ (1+i) + M2 / (1+i)2 +
M3 / (1+i)3 +…….+ Mt /
(1+i)t

Es decir, en nuestro ejemplo se requiere que
(valores expresados en miles de pesos):

– 1,000 + 360 / (1+i) + 419 /
(1+i)2 + 480 / (1+i)3 +547 /
(1+i)4 + 896 / (1+i)5 = 0

El problema, consiste entonces en encontrar la
tasa de interés que haga cumplir esta ecuación.
Esta tasa, que es la tasa máxima que se podría
pagar para hacer la inversión sin ganar ni perder se
denomina la tasa interna de retorno o, abreviadamente, la
TIR.

A esta ecuación, por regla general cuando
se tienen mas de dos o tres períodos es difícil o
imposible encontrarle una solución analítica para
i (despejando i de la
ecuación). La manera de resolverla es, de nuevo, por
tanteo y aproximaciones sucesivas, ensayando valores diferentes
de i hasta encontrar una solución
aproximada.

Para nuestro ejemplo, ya tenemos una primera
aproximación, i = 0.43. Para este valor,
VP es negativo, -98.55, y concluimos que la TIR
que buscamos debe estar por debajo de 0.43. Ensayemos otro valor,
por ejemplo 0.35, y tendremos:

– 1,000 + 360 / 1.35 + 419 / (1.35)2 + 480 /
(1.35)3 + 547 / (1.35)4 + 896 / (1.35)5 = 56.17

Con esta nueva tasa hemos pasado de un valor
presente negativo que teníamos cuando i =
0.43 a un valor positivo con i = 0.35. Esto nos
indica que la TIR de la inversión no es tan baja como
0.35, sino que debe estar en un valor intermedio entre 0.35 y
0.43. Podríamos ensayar una serie de valores intermedios
entre estos dos, pero para ahorrar trabajo vamos a interpolar
entre las dos tasas. esto se hace de una manera similar al caso
ya presentado en el numeral 6. Tomando:

i = Tasa buscada (TIR)

i0 = Tasa inferior (la que da el
valor positivo de VP)

i1 = Tasa superior (la que da el
valor negativo de VP)

VP0 = VP a la
tasa inferior de interés (positivo)

VP1 = VP a la tasa superior de
interés (negativo)

La fórmula de interpolación queda
así:

iaprox = i0 + (i1 –
i0 ) x VP0 / (VP0 + (Valor
Absoluto VP1))

Tenemos, entonces:

iaprox = TIRaprox = 0.35 +
(0.43 – 0.35) x 56.17 / (56.17 + 98.55) = 0.379

Este valor de 0.379 es apenas una
aproximación a la TIR. Para obtener un valor mas exacto,
la interpolación debe hacerse entre tasas que difieran
entre sí en menos de 0.05; en este caso, la diferencia es
de 0,08. Para este ejemplo, un valor mas aproximado a la tasa
verdadera es 0.3767, es decir, 37.67 %

Aplicación
de la tasa interna de retorno para calcular el costo del
capital

Cuando se hace una inversión, la TIR del
flujo neto de ingresos y costos representa una medida de la
rentabilidad de la inversión, o sea, inversamente, la
máxima tasa de interés que se podría pagar
si los recursos
requeridos se hubieran obtenido en préstamo. Cuando una
entidad financiera concede un préstamo, la TIR del flujo
neto de ingresos y costos de la entidad financiera (es decir, del
flujo de valores recibidos por abonos a capital y por intereses
menos los desembolsos de dineros entregados en préstamo),
representa la tasa de interés efectiva recibida por la
entidad. Desde el punto de vista del usuario del crédito,
esa tasa de interés efectiva recibida por la entidad
representaría a su vez el costo del crédito para el
usuario, es decir, la tasa efectiva que él esta pagando.
Por esta razón, es posible calcular el costo efectivo del
crédito calculando la TIR desde el punto de vista del
prestamista, asignándole signo negativo a los valores que
el prestamista entrega (que el usuario recibe) y signo positivo a
los valores que el prestamista recibe (las amortizaciones y
abonos que el usuario paga)

Ejemplo 1. Costos ocultos del
crédito. Usaremos el mismo ejemplo del numeral 6
sobre compra de una estufa. Según se arguyó
allí, el verdadero valor financiado fue de $ 54,000 y se
debía amortizar en 12 cuotas mensuales iguales de $
8,438.82. Entonces, el flujo neto, desde el punto de vista del
prestamista sería el siguiente:

La tasa interna de
retorno TIR se calcula buscando el valor de i
que iguale a cero la siguiente suma:

– 270,000 + 42,194.10 / (1+i) +
42,194.10 / (1+i)2 + …….. + 42,194.10 /
(1+i)12 = 0

El cálculo de este valor se deja como
ejercicio. Se encontrará que el valor de i
calculado por este método
coincide con el encontrado utilizando la fórmula, de
aproximadamente 0.113, o sea, el 11.3% mensual. Este
procedimiento tiene la ventaja de que se puede utilizar para
flujos uniformes o no uniformes, mientras que las fórmulas
del numeral 6 sólo se pueden utilizar para flujos
uniformes.

Ejemplo 2. Se recibe un
préstamo de $ 100,000 al 36% de interés nominal
anual, con intereses pagaderos por trimestres anticipados (9% por
trimestre) y el capital a pagarse en cuatro cuotas iguales de $
25,000 cada una. El flujo es el siguiente:

Para calcular la TIR desde el punto de vista del
prestamista, se cambian los signos y nos
queda la siguiente expresión para el cálculo con
valores aproximativos de i :

– 91,000 + 31,750 / (1+i) +
29,500 / (1+i)2 +27,250 / (1+i)3
+ 25,000 / (1+i)4

El cálculo de la TIR de este flujo se deja
como ejercicio. Su valor es de 0.0989 por período, es
decir, por trimestre (equivalente a una tasa efectiva anual del
45.83), como se había encontrado en el numeral 4.

Ejemplo 3. Las "arandelas"
recargan el costo del crédito.

Normalmente, para obtener un crédito se
incurre en costos adicionales por seguro de vida,
papelería, constitución de garantías
hipotecarias, atenciones a fiadores, transporte,
tiempo perdido en trámites, atenciones y propinas a
funcionarios, etc. Supongamos que el mismo crédito
anterior tiene un recargo del 1% por el seguro de vida y $ 10,000
adicionales por gastos legales y extralegales de
tramitación. Como estos costos se presentan antes de
recibir el dinero del préstamo, hay que descontarlo del
valor de éste para obtener el monto realmente recibido.
Entonces, el flujo corregido queda así:

Para calcular la TIR, tenemos entonces:

– 80,000 + 31,750 / (1+i) +
29,500 / (1+i)2 + 27,250 /
(1+i)3 + 25,000 / (1+i)4 = 0

Nuevamente se deja como ejercicio este
cálculo. La respuesta es : TIR= 0.1634 por período,
es decir, por trimestre, lo cual da una tasa efectiva anual de
(1+0.1634)4 – 1 = 0.8335, es decir, que el
crédito que según los papeles del banco costaba a
una tasa efectiva anual de 45.83%, al sumarle el costo de las
arandelas que el usuario tiene que sufrir se recarga y sube al
equivalente del 83.35% efectivo anual.

Conclusión

A manera de conclusión, y tomando como
ocasión el ejemplo anterior, vale la pena aprovechar la
oportunidad para recalcar que el verdadero costo del capital no
es el que figura en las carteleras de los bancos ni en las
resoluciones o acuerdos de juntas directivas que fijan tasas de
interés, por cuanto los sobrecostos que representan
los gastos legales y extralegales de tramitación
constituyen también componentes del costo del capital, que
deben añadirse a lo pagado por intereses para conocer el
costo efectivo del crédito.

Bibliografía
recomendada

GUTIÉRREZ MARULANDA, FERNANDO. 1985.
Decisiones financieras y costo del dinero en economías
inflacionarias. Bogotá, Editorial Norma, 344 p.

GUTIÉRREZ MARULANDA, FERNANDO. 1993.
Finanzas
prácticas para países en desarrollo.
Bogotá, Editorial Norma, p.

INFANTE VILLARREAL ARTURO. 1979. Evaluación
económica de proyectos de
inversión. Cali, Ediciones Banco Popular. 236 p.

RAMÍREZ ROJAS, OCTAVIO. 1978.
Presupuestación de capital bajo condiciones de
inflación. Revista
Universidad EAFIT
– Temas Administrativos (Medellín) Nº 32, pp 3-7

TAYLOR, GEORGE A. 1981. Ingeniería Económica. México,
Editorial Limusa, 566 p.

Autor:

Jorge Lopera Palacios